计算机数学基础

导学（1）

[学习范围]

1、时间：2005年9月

2、范围：第9章 数值分析中的误差

第10章 线性方程组的数值解法

[学习重点]

1、数值计算中的误差

误差概念 、数值计算中的若干准则

2、线性方程组的解法

高斯消去法与高斯主元消去法、高斯消去法的变形、迭代法

[方法引导]

1、以自学阅读为主，可配合录象片，自学与面授相结合，学员间加强交流；

2、加强上网学习，浏览中央电大、湖南电大、湘西电大三级电大的教学资源；

3、着重研究在计算机上用于求解数学问题的数值近似解的方法和过程。

[巩固练习]

形成性考核册1————6页。

[学习导引]

第9章 数值分析中的误差

★误差(绝对误差)e e=x－x^*

★误差限e ½e½£e

★相对误差e_r （＝)

★相对误差限 ½e_r½£e_r

★绝对误差限有下列运算：

例1 如果x^*=2.718281828…，x=2.7183

绝对误差e=x－x^*=－0.000018172…

绝对误差限e＝0.00005, 有½e½=½x－x^*½£e (绝对误差限取某一位的半个单位)

相对误差

相对误差限

e_r ，取e_r＝0.00002

★有效数字 若x的误差限e是该数某一位的半个单位，就称x准确到该位. 从

这一位到前面第一个非0数字的所有数字称为x的有效数字。

关于有效数字

(1)设精确值x^*的近似值x

a₁,a₂,…,a_n是0～9之中的自然数，且a₁¹0

则x有l位有效数字.

(2)设有n位有效数字，

那么相对误差限：

(3) 设的相对误差限

不大于

则它至少有n位有效数字.

例2 误差与有效数字

(1)设x=0.333=0.333×10⁰,

在本例中，m=0,l=3，故近似值x=0.333有3位有效数字。

(2) 设x^*=23.496， x=23.494=0.23494×10²,

在本例中，m=2,l=4，故近似值x=23.494有4位有效数字。

如果用四舍五入的方法，取x=23.49, ,

故x=23.49只有3位有效数字。

(3) x^*=0.02138, x=0.02144=0.2144×10^－1,

在本例中，m=－1，l＝2, 故x=0.02144, 仅有2位有效数字。

问题：要求精确到10的负多少次方，如精确到10^－4，应该保留小数点后几位数字？

解答：因为精确值x^*未知，通常所说的精确到10^－4，一般指两个近似值x₁，x₂满足

只要

取它们的平均

所以近似值x至少要保留4位小数，精确到小数点后第4位。

第10章线性方程组的数值解法

主要方法

消去法：★高斯顺序消元法

★ 列主元消去法

迭代法：★ 雅可比迭代法 迭代公式

(k=0,1,2,…)

★高斯¾¾赛德尔迭代法 迭代公式

(i=1,2,…,n k=0,1,2,…)

★超松弛迭代法 迭代公式

取1<w<2的常数.

主要定理

n高斯消去法消元过程能进行到底的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0；

AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0.

n 迭代收敛的充分条件

AX=b的系数矩阵A是严格对角占优的，那么它的迭代解一定收敛

例3 用列主元消去法解线性方程组

计算过程保留小数点后3位。

解 由增广矩阵进行消元，

在第1列选主元,有

在第2列的第2，3，4行中选主元, 继续消元

系数矩阵已为上三角形矩阵,回代求解

原方程组的解为(―0.443，1.046，0.325，―2.090)^T

例4用高斯－赛德尔迭代法计算线性方程组

的近似解，取初始值(0, 0,0)，计算过程中取5位有效数字。

解 迭代格式为

从初始值(0 , 0, 0)开始迭代

当k=0,得到

继续迭代，k=1,得到

继续迭代，其解列下表中

例4的迭代解表

		0	1	2	3	4
		0	0.300 0	0.880 4	0.984 3	0.997 8
解		0	1.560 0	1.944 8	1.9922	1.998 9
		0	2.684 0	2.953 9	2.9938	2.999 1

迭代四次的近似解为 (0.997 8, 1.998 9, 2.999 1) ^T

注：该线性方程组的精确解为(1，2，3)

2005年9月

计算机数学基础

导学（2）

第11章 函数插值与最小二乘拟合

★拉格朗日插值多项式

n次插值多项式 y=P_n(x)=y₀l₀+y₁l₁+…+y_nl_n=_{[过n+1个互异插值节点]}

其中插值基函数

(i=0,1,2,…，n)

★ 均差

一阶均差：f(x₀，x₁)＝

二阶均差：f(x₀,x₁,x₂)=

n阶均差：

均差主要性质：

性质1 n阶均差f(x₀,x₁,x₂,…,x_n)可以表示成函数值y₀,y₁,y₂,…,y_n的线性组合；

性质2 (对称性) 均差与插值节点的顺序无关.

★ 牛顿插值多项式

N_n(x)= f(x₀)+f(x₀,x₁)(x-x₀)+f(x₀,x₁,x₂)(x-x₀)(x-x₁)

+…+f(x₀,x₁,x₂,…,x_n)(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n-1) (过n+1个互异节点)

★分段插值

分段线性插值函数

其中l_k(x)(k=0,1,2,…,n)是分段线性插值基函数.

三次样条插值函数.

★ 最小二乘法