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2《数学发展史》课程辅导
王云建
《数学发展史》教学大纲
一、课程的性质与任务
“数学发展史”是中央广播电视大学开放教育数学与应用数学专业（本科）的一门选修课程，由湖南省广播电视大学提供课程教学和学习资源，并由其命题和组织考试。
该课程主要讲述数学思想是怎样经过漫长的历史岁月，经过多个朝代，多个地区、多个民族发展而成，它展示了历代数学家和数学仁仁志士用非凡卓越的思想方法攻克数学难题，以无畏的胆略和远见卓识的精神推动数学发展的。学习课程的任务：一是从数学发展的角度理解数学的真实含意，二是从教育工作者角度掌握数学教育的根本方法。
二、课程的目的与要求。
《数学发展史》是研究数学概念，数学方法和数学思想的起源与发展，以及数学与社会政治、经济和一般文化的联系。通过该课程的学习，提高对数学真实含意的理解，激发兴趣，提高文化素养，达到科学思维，严密逻辑推理，以前人的勇于探索与积极奋斗的精神中汲取教益，获得鼓舞、增强信心，从而找到学习和掌握数学的方法。要实现这一目的，特对本课程的教与学提出如下要求：
1、对《数学史教程》这本教材，要求了解整体思路，搞清楚数学发展过程有哪些阶段，每一个阶段所取得的主要成果。
2、近代数学的兴起与现代数学发展即（第5章——13章）是本教材的核心内容、要求重点掌握。
3、数学的起源与早期发展以及初等数学时期（第1章——4章），要求了解数的产生与背景。数学概念的形成，掌握数学发展初级阶段的思想。
三、课程的教学要求层次。
教学过程中，有关典型的定义，定理、性质特征等概念的内容要求，分为“知道、了解、理解”，由低到高三个层次；按数学发展过程的分期，对不同时期所取得的重要成果的数学家，杰出的要求熟练掌握，非杰出的要求一般掌握二个层次。
第二部分
学时
教学安排、教材与教学环节
一、学时分配与学分
学时分配
本课程共54学时
章号
内
容
课内学时
IP学时
备注
1
数学的起源与早期发展
1
2
古代希腊数学
1
3
中世纪的中国数学
2
4
印度与阿拉伯数学
2
5
近代数学的兴起
3
6
微积分的创立
5
7
分析时代
3
8
代数学的新生
4
9
几何学的变革
5
10、
分析的严格化
6
11、
20世纪数学概观（1）
纯粹数学的主要趋势
8
12、
20世纪数学概观（2）
空前发展的应用数学
8
13、
20世纪数学概观（3）
现代数学成果比例
6
14、
数学与社会
选学
15、
中国现代数学的开拓
选学
合计：
54
15 （IP课在建设之中）
2、学分
本课程共3学分
二、教学安排
“数学发展史”课程安排在第2学期，一个学期完成全部教学任务
三、教材
1、文字教材
根据远距离教育要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，本课程的文字教材就以李文林的“数学史教程”为文字主教材，不指定专门的参考书，但便于教学和学习可参阅由广西师范大学出版社的［英］斯科特著的世界名著译丛“数学史”。
文字主教材是学生学习课程的主要用书，主教材的主要内容是课程的基本内容，是教学和学习的主要依据，也是学生获得知识和提高能力的重要媒体之一。
2、IP课程是基于网络的新型教学媒体之一。
本学期暂不使用（IP课程资源正在建设中）。
四、教学环节
1、教学要求
本学期采用面授教学，面授课时为15学时左右，其余课时为学员自主学习，由各教学班聘请好教师安排好教学，各分校负责检查落实。
2、自学要求
“数学发展史”课程在于学习掌握数学的教育思想，本教材对数学概念和结论都阐述得非常明了、细致、清楚，生动有趣便于自学，各分校要对学生自学提出明确要求。
3、助学服务
面授要根据教学大纲要求。就文字主教材“数学史教程”的整体结构，知识体系，逻辑思维，内容主线，采用患讲方式教学、课时可安排3——5次，共计15小时左右。每次教学后要给学生留适量的练习思考题。
4、作业训练
独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的环节，作业内容为每次面授课后由任课教师布置3~5个练习题。
5、考试
本课程由省电大统一命题，全省统一考试，统一评卷。
第三部分
教学内容与教学要求
一、数学的起源与早期发展时期（1学时）
（一）教学内容
1、数与形概念的产生，象形数字。
2、河谷文明与早期教学
埃及数学，美索不达米亚数学、中国数学、印度数学
重点：数与形概念的产生及数演变成数学的过程。
难点：象形文字表示数和数的运算。
（二）教学要求
1、了解数与形概念的产生背景。
2、理解数演变成数学的过程。
二、初等数学时期（5学时）
（一）教学内容
1、古代希腊数学（1学时）。
①数学的发端：泰勒斯与毕达哥拉斯雅典时期的希腊数学。
②黄金时代——亚历山大学派欧几里得与几何《原本》，阿基米德的数学成就，阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论。
③亚历山大后期和希腊数学的衰落。
2、中世纪的中国数学（2课时）。
①《周髀算经》与《九章算术》
古代背景、周髀算经、九章算术。
②从刘徽的数学成就，祖冲之与祖暅算经十书
③宋元数学：
贾宪三角、正负开方、中国剩定理，内插法与垛积术，天元术与四元术。
3、印度与阿拉伯数学（2学时）
①印度数学：古代绳法经、巴克沙利手稿与零号、悉擅多时期的印度数学。
②阿拉伯数学：阿拉伯的代数，阿拉伯的三角学与几何学。
重点：东方数学的兴起，即中国数学与印度数学。
难点：初等数学的成就与取得的人物的联系。
（二）教学要求
1、了解亚历山太后期和西腊数学衰落的原因。
2、掌握数学的发端与黄金时代杰出数学家取得的成果。
3、熟练掌握中世纪东方数学的成就。
三、近代数学时期（11学时）
1、近代数学的兴起（3学时）
中世纪的欧洲数学
近代数学的过度
解析几何的诞生
2、微积分的创立（5学时）
半个世纪的酝酿
牛顿的流数术
莱布尼茨的微积分
牛顿与莱布尼茨
3、分析时代（3学时）
微积分的发展
微积分的应用与新分支的形成
18世纪的几何与代数
重点：代数、微积分的产生与形成过程及人物代表。
难点：近代数学发展的思想背景。
（二）教学要求
1、要求熟记近代数学时期的杰出代表人物。
2、掌握微积分创立与形成的数学思想。
3、了解近代数学时期为数学作出过贡献的数学家。
四、现代数学时期（37学时）
（一）教学内容
1、代数学的新生（4学时）
①从四元数到超复数，代数方程的可解性与群的发展
布尔代数，代数数论。
2、几何学的变革（5学时）
欧几里得平行公设
非欧几何的诞生
非欧几何的发展与确认
射影几何的繁荣
几何学的统一
3、分析的严格化（6学时）
柯西与分析基础
分析的算术化
分析的扩展
4、20世纪数学概观（1）纯粹数学的主要趋势（8学时）
新世纪的序幕
更高的抽象
数学的统一化
对基础的深入探讨
5、20世纪数学概观（2）空前发展的应用数学（8学时）
应用数学的新时代
数学向其他科学的渗透
独立的应用学科
计算机与现代数学
6、20世纪数学概观（3）现代数学成果十例（6学时）
歌德尔不完全定理
高斯博内公式的推广
米尔诺怪球
阿蒂亚一辛格指标定理
孤立子与非线性偏微分方程
四色问题
分形与混沌
有限单群分类
费马大定理的证明
若干著名未决猜想的进展
重点：代数学、几何学、分析学、纯粹数学、应用数学，现代数学成果的杰出代表人物。
难点：现代数学发展与完善的形成与背景
（二）教学要求
1、熟记重点内容中的杰出人物及其主要成果
1、（P61-21）了解埃及数学的特征。
①埃及数学最基本运算法则是加法，而乘法运算也是通过加法运算来完成的即通过逐次加倍的程序法则来实现乘法运算。
例如：69乘次19其运算程序是：
69+69=138（2倍）
138+138=276（4倍）
276+276=552（8倍）
552+552=1104（16倍）
因为：19=16+2+1
所以：69×19=1104+138+69=1311
②（P21-22）了解埃及数学在几何图形面积和体积的计算水平，在公元前约2世纪的一份爱德（Edfu）地方契约足，记载有埃及人才任意四边形面积公式,如果用a、b、c、d记四边形的四边长则该公式相当于
•
(a+b)
(c+d)
2
2
埃及人在体积计算中达到了更高的水平，能给出计算截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于：
V=h/3（a2+ab+b2）
h是高 ab是底面正方形边长
在距今四千多年前能够达到这样的成就真是令人惊讶。因此，数学史家贝尔称截锥体为“最伟大的埃及金字塔”
2、（P23-31）了解美索不达米亚数学的特征：
①风水宝地，战争焦点，造就高度统一的文化。
②创进了60进制的楔形文记数系统，创编了乘法表：倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表对数表等。
练习题：
1、试用埃及人的加法运算法则，求79乘以17。
辅导（二）初等数学时期（第2章至第4章）
知识点：
1、(P32-66)
了解古代希腊数学由实用数学过渡至论证数学的特征可概括为：蒙芽、兴盛、辉煌、衰落等八个字。其特征是：
“蒙芽”
时期（P32-38）有泰勒斯与毕达哥拉斯两位希腊最早的数学家。
①（P32-33）泰勒斯（约公元前625-前547年）最著名的几何四定理的证明。
10圆的直径将圆分为两个相等的部份；
20等腰三角形两底角相等；
30两相交直线形成的对顶角相等；
40如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。
②（P34-38）毕达哥拉斯（约公元前580—前500年）的主要成就：
10毕达哥拉斯学派为了庆祝以毕达哥拉斯名字命名的“勾股定理”，宰了一百头牛开庆功会。
20正多面体作图
“兴盛” 时期（P39-45）：这一阶段是古希腊数学的兴盛时期，学派林立，具体表现在如下三个方面：
①三大几何问题：化圆为方，倍立方体，三等分角
②之诺（伊利亚学派代表：约公元前490-前430年）的四大悖论：两分法、阿基里斯、飞箭、运动场。之诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点。
而后两个则予头指不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要极限。连续及无穷集合等抽象概念，当时希腊数学家不可能解答，但之诺悖论却成为了希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。
③柏拉图（公元前427-前347年）与亚里士多德一（公元前384-前322年）逻辑演绎结构的倡导。
10柏拉图自创雅典学院、大门上悬挂“不懂几何者莫入”，表示柏拉图对数学的何等重视程度，他创建了分析法和归谬法。
20亚里士多德创立了独立的逻辑学，其中逻辑原理矛盾律和排中律成为数学中间接证明的核心。
“辉煌”
时期（P46-61）三大数学成就
①殴几里得（生平资料不详）几何《原本》
②阿基来德（公元前287-前21年），功绩卓著、硕果累累，流传后世的有《圆的度量》、《抛物线求积》、《论浮体》等11项涉及数学、力学、天文学三大领域。
阿基来德在第二次布匿战争中被罗马士兵杀害。
③阿波罗尼奥斯（公元前262-前190）最重要的数学成就是传世之作《圆锥曲线论》，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出来的。
“衰落” 时期（P61-66）
在古希腊文化中心亚历山大后期（公元前30-公元6世纪）仍然维持着学术中心的地位，并产生了一批杰出的数学家和数学著作，其显著特征，是突破前期以几何学为中心的传统，使算术（数论）和代数成为独立的学科，主要有三位数学家：
托勒玖（公元100-170年）的《天文学大成》
一是《大成》因提出地心说而成为整个中世纪西方天文学的经典。
二是《大成》的三角学贡献使托勒玖在数学史上取得了牢固的地位。
丢番图（活了84岁）的《算术》是一部具有东方色彩的著作，用纯分析的途径处理数论与代数问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志。
亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（公元300-350年）的《数学汇编》是荟萃前人成果的精典著作。
衰落原因：希腊被罗马侵战，基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，横加迫害，注定了希腊数学的衰落。
2、（P67-104）了解中世纪中国数学的重要特征表现为强烈的算法精神，具体为：
①《周髀算经》与《九章算术》
②刘徽的“割圆术”与“体积”
③祖冲之父子的“圆周率”、“球体体积”
④贾宪、杨辉三角、秦九韶《数书九章》、朱世杰的《四元玉鉴》和《算学启蒙》。
⑤“天元术”与“四元术”。
3、（P105-122）了解印度数学与阿拉伯数学的特点：
①引入数“O”是古典印度数学的突出贡献。
②由阿耶波多（476-550年）、婆罗摩笈多（598-665年）、马哈维拉（9世纪）、婆什迦罗（1114-1185）为代表的四大数学家创造了印度数学的繁荣鼎盛时代、数学史上称为“悉擅多”时代。
③阿拉伯数学的特点，它不仅指阿拉伯国家的数学，而是指整个中亚和西亚地区的希腊人、波斯人、犹太人和基督教徒等用阿拉伯文和波斯文所写的数学著作。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度，甚至是中国的文化，为近代欧洲文艺复兴创造学术前提作出了巨大贡献。
中世纪东方数学最明显的特征是：注重算法和理论的完善。内容主要是算术、代数、几何。
练习题：
1、联系你的学习体会谈古希腊数学形成的特征？
2、何谓《周髀算经》、《九章算术》？
3、《周髀算经》主要涉及哪些内容？
4、《九章算术》为什么会成为中国古典数学中最重要的一部著作？
5、刘徽的主要数学成就有哪些？
6、简要阐述祖氏原理。
7、四元术和无元术的实际含义是什么？
1、(P123-206)理解和掌握近代数学的兴起，标志着欧洲文艺的开始，在如下几个领域有较大的突破。
①(P126-132)代数学的创立（即使代数独立成为了一门学科）主要有三个代表性人物。
第一位是波伦亚大学的数学教授马（1465-1526年）发现了如X3+mx=n(m，n＞o)的三次议程发解法。
第二位是卡尔丹（1501-1576年）行医于兰的学者卡尔丹将三次、四次方程的解法,
发表在他的著作《大法》中。
第三位是法国数学家韦达（1540-1608年）《有效的数值解法》等方程著作，使代数符号系统化独立成为了一门学科（以辅音字表示已知量，元音字为表示未知量）。
②（P130-132）使三角学从16世纪开始从天文学中分离出来成为独立的数学分支主要人物有：
第一部脱离天文学的三角学专著《论各种三角形》是雷格蒙塔努斯（1436-1476年）出生德国游学于意大利。
第二位是哥白尼的学生雷提库斯（1514-1576）将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，由原正弦和余弦两个函数扩展为六个函数关系，并编制了10位和15位正弦表。
第三位仍是法国数学家韦达，他的《标准数学》和《斜截面》两部著作使平面三角与球面三角形化
③（P132-135）数学透视法的天才阿尔贝蒂（1404-1472年）的《论绘画》一书，是早期数学透视法的代表作。
射影几何的形成最有代表性的著作是法国数学家帕斯卡（1623-1662），1640年完成的《圆锥曲线论》
④（P135-137）计算技术与对数的完善与成果取得，前者是1585年荷兰数学家史蒂文发表的《十进算术》，后者是1614年苏格兰贵族数学家纳皮尔（1550-1617）写的《奇妙的对定理说明书》一本小册子。
⑤（P137-143）近代数学本质上可以说是变量数学、变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，其主要人物是：
解析几何最重要的前驱者是法国数学家奥雷斯姆（1323-1382）
解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿（1596-1656）与费马（1601-1665）
2、了解和掌握微积分创立过程
①（P145-155）半个世纪的酝酿包含六大数学家的不同贡献：
开普勒与旋转体体积
卡氏列里不可分量原理
笛卡儿“圆法”
费马求极大值与极小值的方法
马罗“微分三角”
活利斯“无穷算术”
②P155-165英国数学家牛顿（1642-1727）他的《流数简论》标志着微积分的诞生。
③P165-174德国数学家莱布尼茨（1646-1716年）他是分析微积分的创始人，使积分符号化。
牛顿和莱布尼茨都是同时代的数学巨人，对微积的创立和系统化可以说是不分上下、旗鼓相当。
3、了解和掌握分析时代的特征。
①P176-187推进牛顿的《流数术》的发展尖人物有：泰勒、麦克劳林、棣莫费、斯特林
推广莱布尼茨微积分学说主要代表人物是雅各布伯努利（1654-1705）和约翰伯努利两兄弟。
18世纪微积分最重大的进步是由瑞士数学家欧拉（1707-1783年）作出的。
在18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧陆数学家中，除了伯努利兄弟和欧拉外，首先应该提到法国学派，其代表人物有：
克莱洛（1713-1765）达朗贝尔（1717-1783）拉格朗日（1736-1813），蒙日（1746-1818）拉普拉斯（1749-1827）勒德（1752-1833年）
②（P188-196）微积分的应用与分支的形成：常微、偏微、变分法。
③（P196-206）18世纪的几何与代数。
练习思考题
1、为什么说公元5-11世纪是欧洲历史上的黑暗时期？（P123）
2、欧洲文艺复兴近代数学的兴起，主要在哪些数学领域取得重大突破，并独立成为分支学科？其主要贡献人物他们又是谁？（P126-206）
3、为什么把微积分的创立归功于牛顿和莱布尼茨两位巨人数学家，是根据什么来确定他们两人在微积分中的平等地位呢？（P174-175）
4、近代意义的数论研究是从谁开始的？提出了一些什么问题和猜想，其中最著名的是什么？（P201-201）
5、什么是哥德马赫猜想？什么是华林问题？（P204-205）
现代数学时期分两层介绍数学的发展，一是以代数、几何、分析为主线，分3章（第8、9、10章）介绍19世纪数学突飞猛进的发展概况。
二是分3章（第11、12、13章）以纯粹数学的主要趋势、应用数学的发展和计算机的影响，现代数学的成果来介绍现代数学研究活动的三大方面。
知识点：
1、了解和掌握代数学的新生具体表现在如下方面：（第8章）
①P208-213代数方程的可解性与群概念的发现，挪威一位青年数学家阿贝尔（1802-1829）法国数学家伽罗瓦（1811-1832）
②P213-218从四元数到超复数
对复数的推广作出重大贡献的是爱尔兰数学家哈密顿（1805-1865）他的声誉仅次于牛顿，哈密顿四元数形如：a+bi+cj+dk（P214）
③（P218-221）布尔代数
英国数学家布尔（1815-1864）是一位自学成才的典范，布尔不仅没有大学文凭，而且连中学都没有上过，但由于在数学上的杰出贡献，他还是被爱尔兰科克女王学院任命为数学教授。
④（P221-225）代数数论
德国数学家高斯（1777-1855）在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得了系统的发展。当时年仅24岁。高斯是历史上不多见的“神童”数学家。
2、（P226-246）了解和掌握几何学的变革所取得的成就。（第9章）,主要表现在：
①（P226-229）欧几里得平行公设
“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，这一替代公设归功于苏格兰数学家和物理学家普莱菲尔（1748-1819）
②（P229-233）非欧几何的诞生（即非欧几里得几何学）非欧几何的发明人有三位：高斯、波约、罗马圯夫斯基
高斯素有“数学之王”的美誉，有许多数学领域都有奠基性贡献。
波约是匈牙利人，他在1832年2月14日完成的一篇题为《绝对空间的科学》的论文，寄给他父亲的朋友高斯，高斯给波约父亲的回信说，他儿子的论文和他30-35年前的思考不谋而合，高斯的信对波约打击很大，波约认为高斯剽窃了自己的成果。
1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何纯文著作出版。在非欧几何的三位发明人只有罗巴切夫斯基是最早、最系统地发表了自己的研究成果的。
③P233-238非欧几何的发展与确认。
首先是德国数学家黎曼（1826-1866），在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何。
然后是19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔，德国数学家克莱因，法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义，至此，非欧几何才能获得广泛的理解。
④（P238-242）射影几何的繁荣
将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是宠斯列（1788-1867）
⑤（P242-246）几何学的统一
统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因（1849-1925）提出的。
以公理化方法制造各种几何，是哥廷根青年数学家希尔伯特（1862-1943）作出的划时代的贡献。
3、（P245-270）分析的严格化（第10章）
①（P247-249）19世纪分析严格化先驱是法国数学家柯西（1789-1851）他写了一系列著作其中最有代表性的是《分析教程》和《无限小计算教程概论》
②（P250-253）被称为“现代分析之父”的是德国数学家魏尔斯特拉斯（1815-1897）
③（P255-258）集合论的诞生是康托尔（1845-1918）创造的。
④（P263-270）法国数学家傅里叶（1768-1830）拉开了19世纪偏微分方程发展的序幕，格林是剑桥数学物理学派的开山祖师。
⑤历史上为数不多的杰出女数学家俄国的柯瓦列夫斯卡娅（1850-1891）的论文《偏微分方程理论》
⑥法国数学家宠加莱（1854-1912）在1881-1886年期间在同一标题《由微分方程定义的曲线》下发表了4篇论文。他是在欧拉、柯西之后最多产的数学家。
4、（P271-306）20世纪数学概论（I）纯粹数学的主要趋势（第11章）
①20世纪纯粹数学的发展表现的三大特征或趋势：10更高的抽象性，20更强的统一性，30更深入的基础探讨。
②（P272-274）希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出了23个数学问题。
③（P275-292）抽象数学的迅猛发展，促进了数学各领域向纵深方向的研究，主要表现在如下几方面：
勒尔格积分与实变函数论，泛函分析，抽象代数，拓朴学，公理化概率论。
④（P298-303）英国数学家罗素（1872-1970）以一个简单明了的集合论“悖论”激发了人们对数学基础更深入的探讨，为解决集合论悖论的进一步尝试中形成了“三大学派”即：
10以罗素为代表的逻辑主义学派；
20以布劳威尔为代表的直觉主义学派；
30以布尔伯特为代表的形式主义学派。
⑤（P303-306）现代数理逻辑的四大分支：
10公理化集合论；
20证明论；
30模型论；
40递归论。
5、（P307-338）空前发展的应用数学（第12章）
①（P309-317）数学向其他科学领域的渗透而形成一系列的交叉学科，如数学物理、数理化学，生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学。
②（P317-322）数理统计、运筹学、控制论等成为了独立的应用学科。
现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔（1890-1962）（P318）。
运筹学原意为“作战研究”，其策源地是英国，计算主要是线性规划和非线性规划（P321）。
控制论也是在第二次世界大战期间成为一门新兴的应用学科，其创始人维纳于1948年出版了他的名著《控制论》宣告控制论这门学科的诞生。（P323-324）
③（P325-338）计算机飞速发展对现代数学起着深刻的影响。
第一台能做加减运算的机械式计算机是帕斯卡发明的（1642年）带来了计算机数学的兴旺。
电子计算机的发明与发展表明，人类计算工具的改进是离不开数学与数学家的贡献的，从冯诺曼和图灵的时代起，电子计算机已发展到第四代。
第一代
电子管 ENIAC
1945
第二代
晶体管 TX-2
1957
第三代
集成电路 IBM360
1964
第四代
超大规模集成电路 1971
到现在的信息技术时代，计算机每一个进步与发展，仍将借助于数学与数学家（P330）。
计算机科学中的数学主要包括：组合数学、模糊数学、机器证明（P337-338）。
6、（P339-362）现代数学成果十例（第13章）
①（P339-341）1931年奥地利数学家哥德尔（1906-1978）发表了哥德尔不完全性定理。
②（P341-342）高斯—博内公式的推广（1941-1944）
③（P343-344）来尔诺怪球（1956）
④（P344-345）阿蒂亚——辛格指标定理（1963）
⑤（P345-346）孤立子与非线性偏微分方程（1965）
⑥（P347-349）四色问题（1976）
⑦（P349-353）分形与混沌（1977）
⑧（P353-354）有限单群分类（1980）
⑨（P355-358）费马大定理的证明（1994）
⑩（P359-
）若干著名未决猜想的进展，宠加莱猜想，哥德巴赫猜想，黎曼猜想
练习题思考题：
1、现代数学中的代数学是因为什么而获得新生？（P213）
2、四元数一般形式为？（P214）
3、为什么要命名为布尔代数？（P218-221）
4、数论是什么时候可作为现代数学的一个分支？是由谁创造的？（P221-225）